第九讲：线性相关性、基、维数
\(v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_n\)是\(m\times n\)矩阵\(A\)的列向量：
如果\(A\)零空间中有且仅有\(0\)向量，则各向量线性无关，\(rank(A)=n\)。
如果存在非零向量\(c\)使得\(Ac=0\)，则存在线性相关向量，\(rank(A)\lt n\)。
向量空间\(S\)中的一组基（basis），具有两个性质：
- 他们线性无关；
- 他们可以生成\(S\)。
对于向量空间\(\mathbb{R}^n\)，如果\(n\)个向量组成的矩阵为可逆矩阵，则这\(n\)个向量为该空间的一组基，而数字\(n\)就是该空间的维数（dimension）。
举例： $ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \ 1 & 1 & 2 & 1 \ 1 & 2 & 3 & 1 \ \end{bmatrix} $ ，A的列向量线性相关，其零空间中有非零向量，所以\(rank(A)=2=主元存在的列数=列空间维数\)。
可以很容易的求得\(Ax=0\)的两个解，如 $ x_1= \begin{bmatrix} -1 \ -1 \ 1 \ 0 \ \end{bmatrix}, x_2= \begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 0 \ 1 \ \end{bmatrix} \(，根据前几讲，我们知道特解的个数就是自由变量的个数，所以\)n-rank(A)=2=自由变量存在的列数=零空间维数$
我们得到：列空间维数\(dim C(A)=rank(A)\)，零空间维数\(dim N(A)=n-rank(A)\)
