第十讲 四个基本子空间
对于\(m \times n\)矩阵\(A\)，\(rank(A)=r\)有：
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行空间\(C(A^T) \in \mathbb{R}^n, dim C(A^T)=r\)，基见例1。
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零空间\(N(A) \in \mathbb{R}^n, dim N(A)=n-r\)，自由元所在的列即可组成零空间的一组基。
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列空间\(C(A) \in \mathbb{R}^m, dim C(A)=r\)，主元所在的列即可组成列空间的一组基。
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左零空间\(N(A^T) \in \mathbb{R}^m, dim N(A^T)=m-r\)，基见例2。
例1，对于行空间 $ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \ 1 & 1 & 2 & 1 \ 1 & 2 & 3 & 1 \ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元、化简} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} =R $
由于我们做了行变换，所以A的列空间受到影响，\(C(R) \neq C(A)\)，而行变换并不影响行空间，所以可以在\(R\)中看出前两行就是行空间的一组基。
所以，可以得出无论对于矩阵\(A\)还是\(R\)，其行空间的一组基，可以由\(R\)矩阵的前\(r\)行向量组成（这里的\(R\)就是第七讲提到的简化行阶梯形式）。
例2，对于左零空间，有\(A^Ty=0 \rightarrow (A^Ty)^T=0^T\rightarrow y^TA=0^T\)，因此得名。
采用Gauss-Jordan消元，将增广矩阵\(\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times m}\end{array}\right]\)中\(A\)的部分划为简化行阶梯形式\(\left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right]\)，此时矩阵\(E\)会将所有的行变换记录下来。
则\(EA=R\)，而在前几讲中，有当\(A'\)是\(m\)阶可逆方阵时，\(R'\)即是\(I\)，所以\(E\)就是\(A^{-1}\)。
本例中
则
很明显，式中\(E\)的最后一行对\(A\)的行做线性组合后，得到\(R\)的最后一行，即\(0\)向量，也就是\(y^TA=0^T\)。
最后，引入矩阵空间的概念，矩阵可以同向量一样，做求和、数乘。
举例，设所有\(3 \times 3\)矩阵组成的矩阵空间为\(M\)。则上三角矩阵、对称矩阵、对角矩阵（前两者的交集）。
观察一下对角矩阵，如果取 $ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 7 \ \end{bmatrix} $ ，可以发现，任何三阶对角矩阵均可用这三个矩阵的线性组合生成，因此，他们生成了三阶对角矩阵空间，即这三个矩阵是三阶对角矩阵空间的一组基。
