第十讲 四个基本子空间
对于矩阵,有:
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行空间,基见例1。
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零空间,自由元所在的列即可组成零空间的一组基。
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列空间,主元所在的列即可组成列空间的一组基。
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左零空间,基见例2。
例1,对于行空间
$
A=
\underrightarrow{消元、化简}
=R
$
由于我们做了行变换,所以A的列空间受到影响,,而行变换并不影响行空间,所以可以在中看出前两行就是行空间的一组基。
所以,可以得出无论对于矩阵还是,其行空间的一组基,可以由矩阵的前行向量组成(这里的就是第七讲提到的简化行阶梯形式)。
例2,对于左零空间,有,因此得名。
采用Gauss-Jordan消元,将增广矩阵中的部分划为简化行阶梯形式,此时矩阵会将所有的行变换记录下来。
则,而在前几讲中,有当是阶可逆方阵时,即是,所以就是。
本例中
则
很明显,式中的最后一行对的行做线性组合后,得到的最后一行,即向量,也就是。
最后,引入矩阵空间的概念,矩阵可以同向量一样,做求和、数乘。
举例,设所有矩阵组成的矩阵空间为。则上三角矩阵、对称矩阵、对角矩阵(前两者的交集)。
观察一下对角矩阵,如果取
$
\quad
\quad
$
,可以发现,任何三阶对角矩阵均可用这三个矩阵的线性组合生成,因此,他们生成了三阶对角矩阵空间,即这三个矩阵是三阶对角矩阵空间的一组基。