第十三讲:复习一
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令
是 空间内的非零向量:则 生成的向量空间可能是 维的。 -
有一个
矩阵 ,该矩阵为阶梯矩阵(echelon form),有 个主元:则能够得到该矩阵的秩为 ,即三列向量线性无关,不存在非零向量使得三列的线性组合为零向量,所以该矩阵的零空间应为 。 -
接上一问,有一个
矩阵 ,则化为最简形式(阶梯矩阵)应为 , 。 -
接上一问,有一个矩阵型为
,则化为最简形式应为 , 。矩阵 为 矩阵, 。 -
有
,并且 ,则等号右侧 向量的列数应为 的行数,且解的列数应为 的列数,所以 是一个 矩阵。从解的结构可知自由元有两个,则 。从解的第一个向量得出,矩阵 的第一列是 ;解的第二个向量在零空间中,说明第二列与第一列符号相反,所以矩阵第二列是 ;解的第三个向量在零空间中,说明第三列为零向量;综上, 。 -
接上一问,如何使得
有解?即使 在矩阵 的列空间中。易知 的列空间型为 ,所以使 为向量 的倍数即可。 -
有一方阵的零空间中只有零向量,则其左零空间也只有零向量。
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由
矩阵组成的矩阵空间,其中的可逆矩阵能否构成子空间?两个可逆矩阵相加的结果并不一定可逆,况且零矩阵本身并不包含在可逆矩阵中。其中的奇异矩阵(singular matrix,非可逆矩阵)也不能组成子空间,因为其相加的结果并不一定能够保持不可逆。 -
如果
,并不能得出 ,反例: ,这个矩阵经常会被用作反例。 -
矩阵的列向量线性无关,则是否 有解?是的,因为方阵各列线性无关,所以方阵满秩,它是可逆矩阵,肯定有解。 -
有 $ B=
B B B=CD Bx=0, CDx=0 C C^{-1} C^{-1}CDx=Dx=0 C N(CD)=N(D) D N(B)\(的基为 ,也就是\) \quad $ -
接上题,求
的通解。观察 ,易得 矩阵的第一列为 ,恰好与等式右边一样,所以 可以作为通解中的特解部分,再利用上一问中求得的零空间的基,得到通解 $ x= + c_1 +c_2 $ -
对于任意方阵,其行空间等于列空间?不成立,可以使用
作为反例,其行空间是向量 的任意倍数,而列空间是向量 的任意倍数。但是如果该方阵是对称矩阵,则成立。 -
与 的四个基本子空间相同。 -
如果
的四个基本子空间相同,则 互为倍数关系。不成立,如任意两个 阶可逆矩阵,他们的列空间、行空间均为 ,他们的零空间、左零空间都只有零向量,所以他们的四个基本子空间相同,但是并不一定具有倍数关系。 -
如果交换矩阵的某两行,则其行空间与零空间保持不变,而列空间与左零空间均已改变。
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为什么向量
不能同时出现在矩阵的行空间与零空间中?令 ,很明显矩阵 中不能出现值为 的行向量,否则无法形成等式右侧的零向量。这里引入正交(perpendicular)的概念,矩阵的行空间与零空间正交,它们仅共享零向量。