第二十四讲：马尔科夫矩阵、傅里叶级数
马尔科夫矩阵
马尔科夫矩阵（Markov matrix）是指具有以下两个特性的矩阵：
- 矩阵中的所有元素大于等于\(0\)；（因为马尔科夫矩阵与概率有关，而概率是非负的。）
- 每一列的元素之和为\(1\)
对于马尔科夫矩阵，我们关心幂运算过程中的稳态（steady state）。与上一讲不同，指数矩阵关系特征值是否为\(0\)，而幂运算要达到稳态需要特征值为\(1\)。
根据上面两条性质，我们可以得出两个推论：
- 马尔科夫矩阵必有特征值为\(1\)；
- 其他的特征值的绝对值皆小于\(1\)。
使用第二十二讲中得到的公式进行幂运算\(u_k=A^ku_0=S\Lambda^kS^{-1}u_0=S\Lambda^kS^{-1}Sc=S\Lambda^kc=c_1\lambda_1^kx_1+c_2\lambda_2^kx_2+\cdots+c_n\lambda_n^kx_n\)，从这个公式很容易看出幂运算的稳态。比如我们取\(\lambda_1=1\)，其他的特征值绝对值均小于\(1\)，于是在经过\(k\)次迭代，随着时间的推移，其他项都趋近于\(0\)，于是在\(k\to\infty\)时，有稳态\(u_k=c_1x_1\)，这也就是初始条件\(u_0\)的第\(1\)个分量。
我们来证明第一个推论，取\(A=\begin{bmatrix}0.1&0.01&0.3\\0.2&0.99&0.3\\0.7&0&0.4\end{bmatrix}\)，则\(A-I=\begin{bmatrix}-0.9&0.01&0.3\\0.2&-0.01&0.3\\0.7&0&-0.6\end{bmatrix}\)。观察\(A-I\)易知其列向量中元素之和均为\(0\)，因为马尔科夫矩阵的性质就是各列向量元素之和为\(1\)，现在我们从每一列中减去了\(1\)，所以这是很自然的结果。而如果列向量中元素和为\(0\)，则矩阵的任意行都可以用“零减去其他行之和”表示出来，即该矩阵的行向量线性相关。
用以前学过的子空间的知识描述，当\(n\)阶方阵各列向量元素之和皆为\(1\)时，则有\(\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{bmatrix}\)在矩阵\(A-I\)左零空间中，即\((A-I)^T\)行向量线性相关。而\(A\)特征值\(1\)所对应的特征向量将在\(A-I\)的零空间中，因为\(Ax=x\rightarrow(A-I)x=0\)。
另外，特征值具有这样一个性质：矩阵与其转置的特征值相同。因为我们在行列式一讲了解了性质10，矩阵与其转置的行列式相同，那么如果\(\det(A-\lambda I)=0\)，则有\(\det(A-\lambda I)^T=0\)，根据矩阵转置的性质有\(\det(A^T-\lambda I^T)=0\)，即\(\det(A^T-\lambda I)=0\)。这正是\(A^T\)特征值的计算式。
然后计算特征值\(\lambda_1=1\)所对应的特征向量，\((A-I)x_1=0\)，得出\(x_1=\begin{bmatrix}0.6\\33\\0.7\end{bmatrix}\)，特征向量中的元素皆为正。
接下来介绍马尔科夫矩阵的应用，我们用麻省和加州这两个州的人口迁移为例：
\(\begin{bmatrix}u_{cal}\\u_{mass}\end{bmatrix}_{k+1}\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{cal}\\u_{mass}\end{bmatrix}_k\)，元素非负，列和为一。这个式子表示每年有\(10%\)的人口从加州迁往麻省，同时有\(20%\)的人口从麻省迁往加州。注意使用马尔科夫矩阵的前提条件是随着时间的推移，矩阵始终不变。
设初始情况\(\begin{bmatrix}u_{cal}\\u_{mass}\end{bmatrix}_0=\begin{bmatrix}0\\1000\end{bmatrix}\)，我们先来看第一次迁徙后人口的变化情况：\(\begin{bmatrix}u_{cal}\\u_{mass}\end{bmatrix}_1=\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1000\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}200\\800\end{bmatrix}\)，随着时间的推移，会有越来越多的麻省人迁往加州，而同时又会有部分加州人迁往麻省。
计算特征值：我们知道马尔科夫矩阵的一个特征值为\(\lambda_1=1\)，则另一个特征值可以直接从迹算出\(\lambda_2=0.7\)。
计算特征向量：带入\(\lambda_1=1\)求\(A-I\)的零空间有\(\begin{bmatrix}-0.1&0.2\\0.1&-0.2\end{bmatrix}\)，则\(x_1=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\)，此时我们已经可以得出无穷步后稳态下的结果了。\(u_{\infty}=c_1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\)且人口总数始终为\(1000\)，则\(c_1=\frac{1000}{3}\)，稳态时\(\begin{bmatrix}u_{cal}\\u_{mass}\end{bmatrix}_{\infty}=\begin{bmatrix}\frac{2000}{3}\\\frac{1000}{3}\end{bmatrix}\)。注意到特征值为\(1\)的特征向量元素皆为正。
为了求每一步的结果，我们必须解出所有特征向量。带入\(\lambda_2=0.7\)求\(A-0.7I\)的零空间有\(\begin{bmatrix}0.2&0.2\\0.1&0.1\end{bmatrix}\)，则\(x_2=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}\)。
通过\(u_0\)解出\(c_1, c_2\)，\(u_k=c_11^k\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+c_20.7^k\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}\)，带入\(k=0\)得\(u_0=\begin{bmatrix}0\\1000\end{bmatrix}=c_1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}\)，解出\(c_1=\frac{1000}{3}, c_2=\frac{2000}{3}\)。
另外，有时人们更喜欢用行向量，此时将要使用行向量乘以矩阵，其行向量各分量之和为\(1\)。
傅里叶级数
在介绍傅里叶级数（Fourier series）之前，先来回顾一下投影。
设\(q_1,q_2,\cdots q_n\)为一组标准正交基，则向量\(v\)在该标准正交基上的展开为\(v=x_1q_1+x_2q_2+\cdots+x_nq_n\)，此时我们想要得到各系数\(x_i\)的值。比如求\(x_1\)的值，我们自然想要消掉除\(x_1q_1\)外的其他项，这时只需要等式两边同乘以\(q_1^T\)，因为的\(q_i\)向量相互正交且长度为\(1\)，则\(q_i^Tq_j=0, q_i^2=1\)所以原式变为\(q_1^Tv=x_1\)。
写为矩阵形式有\(\Bigg[q_1\ q_2\ \cdots\ q_n\Bigg]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=v\)，即\(Qx=v\)。所以有\(x=Q^{-1}v\)，而在第十七讲我们了解到标准正交基有\(Q^T=Q^{-1}\)，所以我们不需要计算逆矩阵可直接得出\(x=Q^Tv\)。此时对于\(x\)的每一个分量有\(x_i=q_i^Tv\)。
接下来介绍傅里叶级数。先写出傅里叶级数的展开式：
傅里叶发现，如同将向量\(v\)展开（投影）到向量空间的一组标准正交基中，在函数空间中，我们也可以做类似的展开。将函数\(f(x)\)投影在一系列相互正交的函数中。函数空间中的\(f(x)\)就是向量空间中的\(v\)；函数空间中的\(1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\cdots\)就是向量空间中的\(q_1,q_2,\cdots,q_n\)；不同的是，函数空间是无限维的而我们以前接触到的向量空间通常是有限维的。
再来介绍何为“函数正交”。对于向量正交我们通常使用两向量内积（点乘）为零判断。我们知道对于向量\(v,w\)的内积为\(v^Tw=v_1w_1+v_2w_2+\cdots+v_nw_n=0\)，也就是向量的每个分量之积再求和。而对于函数\(f(x)\cdot g(x)\)内积，同样的，我们需要计算两个函数的每个值之积而后求和，由于函数取值是连续的，所以函数内积为：
在本例中，由于傅里叶级数使用正余弦函数，它们的周期都可以算作\(2\pi\)，所以本例的函数点积可以写作\(f^Tg=\int_0^{2\pi}f(x)g(x)\mathrm{d}x\)。我来检验一个内积\(\int_0^{2\pi}\sin{x}\cos{x}\mathrm{d}x=\left.\frac{1}{2}\sin^2x\right|_0^{2\pi}=0\)，其余的三角函数族正交性结果可以参考傅里叶级数的“希尔伯特空间的解读”一节。
最后我们来看\(\cos x\)项的系数是多少（\(a_0\)是\(f(x)\)的平均值）。同向量空间中的情形一样，我们在等式两边同时做\(\cos x\)的内积，原式变为\(\int_0^{2\pi}f(x)\cos x\mathrm{d}x=a_1\int_0^{2\pi}\cos^2x\mathrm{d}x\)，因为正交性等式右边仅有\(\cos x\)项不为零。进一步化简得\(a_1\pi=\int_0^{2\pi}f(x)\cos x\mathrm{d}x\rightarrow a_1=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\cos x\mathrm{d}x\)。
于是，我们把函数\(f(x)\)展开到了函数空间的一组标准正交基上。
