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第二十五讲：复习二

  • 我们学习了正交性，有矩阵\(Q=\Bigg[q_1\ q_2\ \cdots\ q_n\Bigg]\)，若其列向量相互正交，则该矩阵满足\(Q^TQ=I\)。
  • 进一步研究投影，我们了解了Gram-Schmidt正交化法，核心思想是求法向量，即从原向量中减去投影向量\(E=b-P, P=Ax=\frac{A^Tb}{A^TA}\cdot A\)。
  • 接着学习了行列式，根据行列式的前三条性质，我们拓展出了性质4-10。
  • 我们继续推导出了一个利用代数余子式求行列式的公式。
  • 又利用代数余子式推导出了一个求逆矩阵的公式。
  • 接下来我们学习了特征值与特征向量的意义：\(Ax=\lambda x\)，进而了解了通过\(\det(A-\lambda I)=0\)求特征值、特征向量的方法。
  • 有了特征值与特征向量，我们掌握了通过公式\(AS=\Lambda S\)对角化矩阵，同时掌握了求矩阵的幂\(A^k=S\Lambda^kS^{-1}\)。

微分方程不在本讲的范围内。下面通过往年例题复习上面的知识。

  1. 求\(a=\begin{bmatrix}2\\1\\2\end{bmatrix}\)的投影矩阵\(P\)：\(\Bigg(\)由\(a\bot(b-p)\rightarrow A^T(b-A\hat x)=0\)得到\(\hat x=\left(A^TA\right)^{-1}A^Tb\)，求得\(p=A\hat x=A\left(A^TA\right)^{-1}A^Tb=Pb\)最终得到\(P\Bigg)\)\(\underline{P=A\left(A^TA\right)^{-1}A^T}\stackrel{a}=\frac{aa^T}{a^Ta}=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}4&2&4\\2&1&2\\4&2&4\end{bmatrix}\)。

    求\(P\)矩阵的特征值：观察矩阵易知矩阵奇异，且为秩一矩阵，则其零空间为\(2\)维，所以由\(Px=0x\)得出矩阵的两个特征向量为\(\lambda_1=\lambda_2=0\)；而从矩阵的迹得知\(trace(P)=1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0+0+1\)，则第三个特征向量为\(\lambda_3=1\)。

    求\(\lambda_3=1\)的特征向量：由\(Px=x\)我们知道经其意义为，\(x\)过矩阵\(P\)变换后不变，又有\(P\)是向量\(a\)的投影矩阵，所以任何向量经过\(P\)变换都会落在\(a\)的列空间中，则只有已经在\(a\)的列空间中的向量经过\(P\)的变换后保持不变，即其特征向量为\(x=a=\begin{bmatrix}2\\1\\2\end{bmatrix}\)，也就是\(Pa=a\)。

    有差分方程\(u_{k+1}=Pu_k,\ u_0=\begin{bmatrix}9\\9\\0\end{bmatrix}\)，求解\(u_k\)：我们先不急于解出特征值、特征向量，因为矩阵很特殊（投影矩阵）。首先观察\(u_1=Pu_0\)，式子相当于将\(u_0\)投影在了\(a\)的列空间中，计算得\(u_1=a\frac{a^Tu_0}{a^Ta}=3a=\begin{bmatrix}6\\3\\6\end{bmatrix}\)（这里的\(3\)相当于做投影时的系数\(\hat x\)），其意义为\(u_1\)在\(a\)上且距离\(u_0\)最近。再来看看\(u_2=Pu_1\)，这个式子将\(u_1\)再次投影到\(a\)的列空间中，但是此时的\(u_1\)已经在该列空间中了，再次投影仍不变，所以有\(u_k=P^ku_0=Pu_0=\begin{bmatrix}6\\3\\6\end{bmatrix}\)。

    上面的解法利用了投影矩阵的特殊性质，如果在一般情况下，我们需要使用\(AS=S\Lambda\rightarrow A=S\Lambda S^{-1} \rightarrow u_{k+1}=Au_k=A^{k+1}u_0, u_0=Sc\rightarrow u_{k+1}=S\Lambda^{k+1}S^{-1}Sc=S\Lambda^{k+1}c\)，最终得到公式\(A^ku_0=c_1\lambda_1^kx_1+c_2\lambda_2^kx_2+\cdots+c_n\lambda_n^kx_n\)。题中\(P\)的特殊性在于它的两个“零特征值”及一个“一特征值”使得式子变为\(A^ku_0=c_3x_3\)，所以得到了上面结构特殊的解。

  2. 将点\((1,4),\ (2,5),\ (3,8)\)拟合到一条过零点的直线上：设直线为\(y=Dt\)，写成矩阵形式为\(\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}D=\begin{bmatrix}4\\5\\8\end{bmatrix}\)，即\(AD=b\)，很明显\(D\)不存在。利用公式\(A^TA\hat D=A^Tb\)得到\(14D=38,\ \hat D=\frac{38}{14}\)，即最佳直线为\(y=\frac{38}{14}t\)。这个近似的意义是将\(b\)投影在了\(A\)的列空间中。

  3. 求\(a_1=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\ a_2=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\)的正交向量：找到平面\(A=\Bigg[a_1,a_2\Bigg]\)的正交基，使用Gram-Schmidt法，以\(a_1\)为基准，正交化\(a_2\)，也就是将\(a_2\)中平行于\(a_1\)的分量去除，即\(a_2-xa_1=a_2-\frac{a_1^Ta_2}{a_1^Ta_1}a_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}-\frac{6}{14}\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\)。

  4. 有\(4\times 4\)矩阵\(A\)，其特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4\)，则矩阵可逆的条件是什么：矩阵可逆，则零空间中只有零向量，即\(Ax=0x\)没有非零解，则零不是矩阵的特征值。

    \(\det A^{-1}\)是什么：\(\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}\)，而\(\det A=\lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_4\)，所以有\(\det A^{-1}=\frac{1}{\lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_4}\)。

    \(trace(A+I)\)的迹是什么：我们知道\(trace(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4\)，所以有\(trace(A+I)=a_{11}+1+a_{22}+1+a_{33}+1+a_{44}+1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4+4\)。

  5. 有矩阵\(A_4=\begin{bmatrix}1&1&0&0\\1&1&1&0\\0&1&1&1\\0&0&1&1\end{bmatrix}\)，求\(D_n=?D_{n-1}+?D_{n-2}\)：求递归式的系数，使用代数余子式将矩阵安第一行展开得\(\det A_4=1\cdot\begin{vmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&1\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&1&1\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&1\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=\det A_3-\det A_2\)。则可以看出有规律\(D_n=D_{n-1}-D_{n-2}, D_1=1, D_2=0\)。

    使用我们在差分方程中的知识构建方程组\(\begin{cases}D_n&=D_{n-1}-D_{n-2}\\D_{n-1}&=D_{n-1}\end{cases}\)，用矩阵表达有\(\begin{bmatrix}D_n\\D_{n-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}D_{n-1}\\D_{n-2}\end{bmatrix}\)。计算系数矩阵\(A_c\)的特征值，\(\begin{vmatrix}1-\lambda&1\\1&-\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2-\lambda+1=0\)，解得\(\lambda_1=\frac{1+\sqrt{3}i}{2},\lambda_2=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\)，特征值为一对共轭复数。

    要判断递归式是否收敛，需要计算特征值的模，即实部平方与虚部平方之和\(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\)。它们是位于单位圆\(e^{i\theta}\)上的点，即\(\cos\theta+i\sin\theta\)，从本例中可以计算出\(\theta=60^\circ\)，也就是可以将特征值写作\(\lambda_1=e^{i\pi/3},\lambda_2=e^{-i\pi/3}\)。注意，从复平面单位圆上可以看出，这些特征值的六次方将等于一：\(e^{2\pi i}=e^{2\pi i}=1\)。继续深入观察这一特性对矩阵的影响，\(\lambda_1^6=\lambda^6=1\)，则对系数矩阵有\(A_c^6=I\)。则系数矩阵\(A_c\)服从周期变化，既不发散也不收敛。

  6. 有这样一类矩阵\(A_4=\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&2&0\\0&2&0&3\\0&0&3&0\end{bmatrix}\)，求投影到\(A_3\)列空间的投影矩阵：有\(A_3=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&2\\0&2&0\end{bmatrix}\)，按照通常的方法求\(P=A\left(A^TA\right)A^T\)即可，但是这样很麻烦。我们可以考察这个矩阵是否可逆，因为如果可逆的话，\(\mathbb{R}^4\)空间中的任何向量都会位于\(A_4\)的列空间，其投影不变，则投影矩阵为单位矩阵\(I\)。所以按行展开求行列式\(\det A_4=-1\cdot-1\cdot-3\cdot-3=9\)，所以矩阵可逆，则\(P=I\)。

    求\(A_3\)的特征值及特征向量：\(\left|A_3-\lambda I\right|=\begin{vmatrix}-\lambda&1&0\\1&-\lambda&2\\0&2&-\lambda\end{vmatrix}=-\lambda^3+5\lambda=0\)，解得\(\lambda_1=0,\lambda_2=\sqrt 5,\lambda_3=-\sqrt 5\)。

    我们可以猜测这一类矩阵的规律：奇数阶奇异，偶数阶可逆。

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