第二十八讲：正定矩阵和最小值
本讲我们会了解如何完整的测试一个矩阵是否正定，测试\(x^TAx\)是否具有最小值，最后了解正定的几何意义——椭圆（ellipse）和正定性有关，双曲线（hyperbola）与正定无关。另外，本讲涉及的矩阵均为实对称矩阵。
正定性的判断
我们仍然从二阶说起，有矩阵\(A=\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}\)，判断其正定性有以下方法：
- 矩阵的所有特征值大于零则矩阵正定：\(\lambda_1>0,\ \lambda_2>0\)；
- 矩阵的所有顺序主子阵（leading principal submatrix）的行列式（即顺序主子式，leading principal minor）大于零则矩阵正定：\(a>0,\ ac-b^2>0\)；
- 矩阵消元后主元均大于零：\(a>0,\ \frac{ac-b^2}{a}>0\)；
- \(x^TAx>0\)；
大多数情况下使用4来定义正定性，而用前三条来验证正定性。
来计算一个例子：\(A=\begin{bmatrix}2&6\\6&?\end{bmatrix}\)，在\(?\)处填入多少才能使矩阵正定？
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来试试\(18\)，此时矩阵为\(A=\begin{bmatrix}2&6\\6&18\end{bmatrix}\)，\(\det A=0\)，此时的矩阵成为半正定矩阵（positive semi-definite）。矩阵奇异，其中一个特征值必为\(0\)，从迹得知另一个特征值为\(20\)。矩阵的主元只有一个，为\(2\)。
计算\(x^TAx\)，得\(\begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&6\\6&18\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=2x_1^2+12x_1x_2+18x_2^2\)这样我们得到了一个关于\(x_1,x_2\)的函数\(f(x_1,x_2)=2x_1^2+12x_1x_2+18x_2^2\)，这个函数不再是线性的，在本例中这是一个纯二次型（quadratic）函数，它没有线性部分、一次部分或更高次部分（\(Ax\)是线性的，但引入\(x^T\)后就成为了二次型）。
当\(?\)取\(18\)时，判定1、2、3都是“刚好不及格”。
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我们可以先看“一定不及格”的样子，令\(?=7\)，矩阵为\(A=\begin{bmatrix}2&6\\6&7\end{bmatrix}\)，二阶顺序主子式变为\(-22\)，显然矩阵不是正定的，此时的函数为\(f(x_1,x_2)=2x_1^2+12x_1x_2+7x_2^2\)，如果取\(x_1=1,x_2=-1\)则有\(f(1,-1)=2-12+7<0\)。
如果我们把\(z=2x^2+12xy+7y^2\)放在直角坐标系中，图像过原点\(z(0,0)=0\)，当\(y=0\)或\(x=0\)或\(x=y\)时函数为开口向上的抛物线，所以函数图像在某些方向上是正值；而在某些方向上是负值，比如\(x=-y\)，所以函数图像是一个马鞍面（saddle），\((0,0,0)\)点称为鞍点（saddle point），它在某些方向上是极大值点，而在另一些方向上是极小值点。（实际上函数图像的最佳观测方向是沿着特征向量的方向。）
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再来看一下“一定及格”的情形，令\(?=20\)，矩阵为\(A=\begin{bmatrix}2&6\\6&20\end{bmatrix}\)，行列式为\(\det A=4\)，迹为\(trace(A)=22\)，特征向量均大于零，矩阵可以通过测试。此时的函数为\(f(x_1,x_2)=2x_1^2+12x_1x_2+20x_2^2\)，函数在除\((0,0)\)外处处为正。我们来看看\(z=2x^2+12xy+20y^2\)的图像，式子的平方项均非负，所以需要两个平方项之和大于中间项即可，该函数的图像为抛物面（paraboloid）。在\((0,0)\)点函数的一阶偏导数均为零，二阶偏导数均为正（马鞍面的一阶偏导数也为零，但二阶偏导数并不均为正，所以），函数在改点取极小值。
在微积分中，一元函数取极小值需要一阶导数为零且二阶导数为正\(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=0, \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}x^2}>0\)。在线性代数中我们遇到了了多元函数\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)，要取极小值需要二阶偏导数矩阵为正定矩阵。
在本例中（即二阶情形），如果能用平方和的形式来表示函数，则很容易看出函数是否恒为正，\(f(x,y)=2x^2+12xy+20y^2=2\left(x+3y\right)^2+2y^2\)。另外，如果是上面的\(?=7\)的情形，则有\(f(x,y)=2(x+3y)^2-11y^2\)，如果是\(?=18\)的情形，则有\(f(x,y)=2(x+3y)^2\)。
如果令\(z=1\)，相当于使用\(z=1\)平面截取该函数图像，将得到一个椭圆曲线。另外，如果在\(?=7\)的马鞍面上截取曲线将得到一对双曲线。
再来看这个矩阵的消元，\(\begin{bmatrix}2&6\\6&20\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\-3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&6\\0&2\end{bmatrix}\)，这就是\(A=LU\)，可以发现矩阵\(L\)中的项与配平方中未知数的系数有关，而主元则与两个平方项外的系数有关，这也就是为什么正数主元得到正定矩阵。
上面又提到二阶导数矩阵，这个矩阵型为\(\begin{bmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{bmatrix}\)，显然，矩阵中的主对角线元素（纯二阶导数）必须为正，并且主对角线元素必须足够大来抵消混合导数的影响。同时还可以看出，因为二阶导数的求导次序并不影响结果，所以矩阵必须是对称的。现在我们就可以计算\(n\times n\)阶矩阵了。
接下来计算一个三阶矩阵，\(A=\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}\)，它是正定的吗？函数\(x^TAx\)是多少？函数在原点去最小值吗？图像是什么样的？
- 先来计算矩阵的顺序主子式，分别为\(2,3,4\)；再来计算主元，分别为\(2,\frac{3}{2},\frac{4}{3}\)；计算特征值，\(\lambda_1=2-\sqrt 2,\lambda_2=2,\lambda_3=2+\sqrt 2\)。
- 计算\(x^TAx=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3\)。
- 图像是四维的抛物面，当我们在\(f(x_1,x_2,x_3)=1\)处截取该面，将得到一个椭圆体。一般椭圆体有三条轴，特征值的大小决定了三条轴的长度，而特征向量的方向与三条轴的方向相同。
现在我们将矩阵\(A\)分解为\(A=Q\Lambda Q^T\)，可以发现上面说到的各种元素都可以表示在这个分解的矩阵中，我们称之为主轴定理（principal axis theorem），即特征向量说明主轴的方向、特征值说明主轴的长度。
\(A=Q\Lambda Q^T\)是特征值相关章节中最重要的公式。
