第三十三讲：单元检测3复习
在上一次复习中，我们已经涉及了求特征值与特征向量（通过解方程\(\det(A-\lambda I)=0\)得出\(\lambda\)，再将\(\lambda\)带入\(A-\lambda I\)求其零空间得到\(x\)）。
接下的章节来我们学习了：
- 解微分方程\(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au\)，并介绍了指数矩阵\(e^{At}\)；
- 介绍了对称矩阵的性质\(A=A^T\)，了解了其特征值均为实数且总是存在足量的特征向量（即使特征值重复特征向量也不会短缺，总是可以对角化）；同时对称矩阵的特征向量正交，所以对称矩阵对角化的结果可以表示为\(A=Q\Lambda Q^T\)；
- 接着我们学习了正定矩阵；
- 然后学习了相似矩阵，\(B=M^{-1}AM\)，矩阵\(A,B\)特征值相同，其实相似矩阵是用不同的基表示相同的东西；
- 最后我们学习了奇异值分解\(A=U\varSigma V^T\)。
现在，我们继续通过例题复习这些知识点。
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解方程\(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au=\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}u\)。
首先通过\(A\)的特征值/向量求通解\(u(t)=c_1e^{\lambda_1t}x_1+c_2e^{\lambda_2t}x_2+c_3e^{\lambda_3t}x_3\)，很明显矩阵是奇异的，所以有\(\lambda_1=0\)；
继续观察矩阵会发现\(A^T=-A\)，这是一个反对称矩阵（anti-symmetric）或斜对陈矩阵（skew-symmetric），这与我们在第二十一讲介绍过的旋转矩阵类似，它的特征值应该为纯虚数（特征值在虚轴上），所以我们猜测其特征值应为\(0\cdot i,\ b\cdot i,\ -b\cdot i\)。通过解\(\det(A-\lambda I)=0\)验证一下：\(\begin{bmatrix}-\lambda&-1&0\\1&-\lambda&-1\\0&1&\lambda\end{bmatrix}=\lambda^3+2\lambda=0, \lambda_2=\sqrt 2i, \lambda_3=-\sqrt 2i\)。
此时\(u(t)=c_1+c_2e^{\sqrt 2it}x_2+c_3e^{-\sqrt 2it}x_3\)，\(e^{\sqrt 2it}\)始终在复平面单位圆上，所以\(u(t)\)及不发散也不收敛，它只是具有周期性。当\(t=0\)时有\(u(0)=c_1+c_2+c_3\)，如果使\(e^{\sqrt 2iT}=1\)即\(\sqrt 2iT=2\pi i\)则也能得到\(u(T)=c_1+c_2+c_3\)，周期\(T=\pi\sqrt 2\)。
另外，反对称矩阵同对称矩阵一样，具有正交的特征向量。当矩阵满足什么条件时，其特征向量相互正交？答案是必须满足\(AA^T=A^TA\)。所以对称矩阵\(A=A^T\)满足此条件，同时反对称矩阵\(A=-A^T\)也满足此条件，而正交矩阵\(Q^{-1}=Q^T\)同样满足此条件，这三种矩阵的特征向量都是相互正交的。
上面的解法并没有求特征向量，进而通过\(u(t)=e^{At}u(0)\)得到通解，现在我们就来使用指数矩阵来接方程。如果矩阵可以对角化（在本例中显然可以），则\(A=S\Lambda S^{-1}, e^{At}=Se^{\Lambda t}S^{-1}=S\begin{bmatrix}e^{\lambda_1t}&&&\\&e^{\lambda_1t}&&\\&&\ddots&\\&&&e^{\lambda_1t}\end{bmatrix}S^{-1}\)，这个公式在能够快速计算\(S,\lambda\)时很方便求解。
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已知矩阵的特征值\(\lambda_1=0,\lambda_2=c,\lambda_3=2\)，特征向量\(x_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},x_2=\begin{bmatrix}1&-1&0\end{bmatrix},x_3=\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix}\)：
\(c\)如何取值才能保证矩阵可以对角化？其实可对角化只需要有足够的特征向量即可，而现在特征向量已经足够，所以\(c\)可以取任意值。
\(c\)如何取值才能保证矩阵对称？我们知道，对称矩阵的特征值均为实数，且注意到给出的特征向量是正交的，有了实特征值及正交特征向量，我们就可以得到对称矩阵。
\(c\)如何取值才能使得矩阵正定？已经有一个零特征值了，所以矩阵不可能是正定的，但可以是半正定的，如果\(c\)去非负实数。
\(c\)如何取值才能使得矩阵是一个马尔科夫矩阵？在第二十四讲我们知道马尔科夫矩阵的性质：必有特征值等于\(1\)，其余特征值均小于\(1\)，所以\(A\)不可能是马尔科夫矩阵。
\(c\)取何值才能使得\(P=\frac{A}{2}\)是一个投影矩阵？我们知道投影矩阵的一个重要性质是\(P^2=P\)，所以有对其特征值有\(\lambda^2=\lambda\)，则\(c=0,2\)。
题设中的正交特征向量意义重大，如果没有正交这个条件，则矩阵\(A\)不会是对称、正定、投影矩阵。因为特征向量的正交性我们才能直接去看特征值的性质。
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复习奇异值分解，\(A=U\varSigma V^T\)：
先求正交矩阵\(V\)：\(A^TA=V\varSigma^TU^TU\varSigma V^T=V\left(\varSigma^T\varSigma\right)V^T\)，所以\(V\)是矩阵\(A^TA\)的特征向量矩阵，而矩阵\(\varSigma^T\varSigma\)是矩阵\(A^TA\)的特征值矩阵，即\(A^TA\)的特征值为\(\sigma^2\)。
接下来应该求正交矩阵\(U\)：\(AA^T=U\varSigma^TV^TV\varSigma U^T=U\left(\varSigma^T\varSigma\right)U^T\)，但是请注意，我们在这个式子中无法确定特征向量的符号，我们需要使用\(Av_i=\sigma_iu_i\)，通过已经求出的\(v_i\)来确定\(u_i\)的符号（因为\(AV=U\varSigma\)），进而求出\(U\)。
已知\(A=\bigg[u_1\ u_2\bigg]\begin{bmatrix}3&0\\0&2\end{bmatrix}\bigg[v_1\ v_2\bigg]^T\)
从已知的\(\varSigma\)矩阵可以看出，\(A\)矩阵是非奇异矩阵，因为它没有零奇异值。另外，如果把\(\varSigma\)矩阵中的\(2\)改成\(-5\)，则题目就不再是奇异值分解了，因为奇异值不可能为负；如果将\(2\)变为\(0\)，则\(A\)是奇异矩阵，它的秩为\(1\)，零空间为\(1\)维，\(v_2\)在其零空间中。
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\(A\)是正交对称矩阵，那么它的特征值具有什么特点？
首先，对于对称矩阵，有特征值均为实数；然后是正交矩阵，直觉告诉我们\(|\lambda|=1\)。来证明一下，对于\(Qx=\lambda x\)，我们两边同时取模有\(\|Qx\|=|\lambda|\|x\|\)，而正交矩阵不会改变向量长度，所以有\(\|x\|=|\lambda|\|x\|\)，因此\(\lambda=\pm1\)。
\(A\)是正定的吗？并不一定，因为特征向量可以取\(-1\)。
\(A\)的特征值没有重复吗？不是，如果矩阵大于\(2\)阶则必定有重复特征值，因为只能取\(\pm1\)。
\(A\)可以被对角化吗？是的，任何对称矩阵、任何正交矩阵都可以被对角化。
\(A\)是非奇异矩阵吗？是的，正交矩阵都是非奇异矩阵。很明显它的特征值都不为零。
证明\(P=\frac{1}{2}(A+I)\)是投影矩阵。
我们使用投影矩阵的性质验证，首先由于\(A\)是对称矩阵，则\(P\)一定是对称矩阵；接下来需要验证\(P^2=P\)，也就是\(\frac{1}{4}\left(A^2+2A+I\right)=\frac{1}{2}(A+I)\)。来看看\(A^2\)是什么，\(A\)是正交矩阵则\(A^T=A^{-1}\)，而\(A\)又是对称矩阵则\(A=A^T=A^{-1}\)，所以\(A^2=I\)。带入原式有\(\frac{1}{4}(2A+2I)=\frac{1}{2}(A+I)\)，得证。
我们可以使用特征值验证，\(A\)的特征值可以取\(\pm1\)，则\(A+I\)的特征值可以取\(0,2\)，\(\frac{1}{2}(A+I)\)的特征值为\(0,1\)，特征值满足投影矩阵且它又是对称矩阵，得证。
