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线性回归和逻辑回归的 MLE 视角

线性回归

\(z = w^T x + b\),得到:

\(y = z + \epsilon, \, \epsilon \sim N(0, \sigma^2)\)

于是:

\(y|x \sim N(z, \sigma^2)\)

为啥是 \(y|x\),因为判别模型的输出只能是 \(y|x\)

它的概率密度函数:

\(f_{Y|X}(y)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp(\frac{-(y -z)^2}{2\sigma^2}) \\ = A \exp(-B (y - z)^2), \, A, B > 0\)

计算损失函数:

\(L = -\sum_i \log f_{Y|X}(y^{(i)}) \\ = -\sum_i(\log A - B(y^{(i)} - z^{(i)})^2) \\ = B \sum_i(y^{(i)} - z^{(i)})^2 + C\)

所以 \(\min L\) 就相当于 \(\min (y^{(i)} - z^{(i)})^2\)。结果和最小二乘是一样的。

逻辑回归

\(z = w^T x + b, a = \sigma(z)\),我们观察到在假设中:

\(P(y=1|x) = a \\ P(y=0|x) = 1 - a\)

也就是说:

\(y|x \sim B(1, a)\)

其实任何二分类器的输出都是伯努利分布。因为变量只能取两个值,加起来得一,所以只有一种分布。

它的概率质量函数(因为是离散分布,只有概率质量函数,不过无所谓):

\(p_{Y|X}(y) = a^y(1-a)^{1-y}\)

然后计算损失函数:

\(L = -\sum_i \log p_{Y|X}(y^{(i)}) \\ = -\sum_i(y^{(i)} \log a^{(i)} + (1-y^{(i)})\log(1-a^{(i)}))\)

和交叉熵是一致的。

可以看出,在线性回归的场景下,MLE 等价于最小二乘,在逻辑回归的场景下,MLE 等价于交叉熵。但不一定 MLE 在所有模型中都是这样。



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