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第七讲:求解\(Ax=0\),主变量,特解

举例:\(3 \times 4\)矩阵 $ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\ 2 & 4 & 6 & 8\ 3 & 6 & 8 & 10\ \end{bmatrix} \(,求\)Ax=0$的特解:

找出主变量(pivot variable): $$ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\ 2 & 4 & 6 & 8\ 3 & 6 & 8 & 10\ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元} \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 2 & 2\ 0 & 0 & \underline{2} & 4\ 0 & 0 & 0 & 0\ \end{bmatrix} =U $$

主变量(pivot variable,下划线元素)的个数为2,即矩阵\(A\)的秩(rank)为2,即\(r=2\)

主变量所在的列为主列(pivot column),其余列为自由列(free column)。

自由列中的变量为自由变量(free variable),自由变量的个数为\(n-r=4-2=2\)

通常,给自由列变量赋值,去求主列变量的值。如,令\(x_2=1, x_4=0\)求得特解 \(x=c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\\\end{bmatrix}\); 再令\(x_2=0, x_4=1\)求得特解 \(x=c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\\\end{bmatrix}\)

该例还能进一步简化,即将\(U\)矩阵化简为\(R\)矩阵(Reduced row echelon form),即简化行阶梯形式。

在简化行阶梯形式中,主元上下的元素都是\(0\): $$ U= \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 2 & 2\ 0 & 0 & \underline{2} & 4\ 0 & 0 & 0 & 0\ \end{bmatrix} \underrightarrow{化简} \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 0 & -2\ 0 & 0 & \underline{1} & 2\ 0 & 0 & 0 & 0\ \end{bmatrix} =R $$

\(R\)矩阵中的主变量放在一起,自由变量放在一起(列交换),得到

\[ R= \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & \underline{1} & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \underrightarrow{列交换} \left[ \begin{array}{c c | c c} 1 & 0 & 2 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} I & F \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \textrm{,其中}I\textrm{为单位矩阵,}F\textrm{为自由变量组成的矩阵} \]

计算零空间矩阵\(N\)(nullspace matrix),其列为特解,有\(RN=0\)

\[ x_{pivot}=-Fx_{free} \\ \begin{bmatrix} I & F \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{pivot} \\ x_{free} \\ \end{bmatrix}=0 \\ N=\begin{bmatrix} -F \\ I \\ \end{bmatrix} \]

在本例中 $ N= \begin{bmatrix} -2 & 2 \ 0 & -2 \ 1 & 0 \ 0 & 1 \ \end{bmatrix} \(,与上面求得的两个\)x$特解一致。

另一个例子,矩阵 $ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 6 \ 2 & 6 & 8 \ 2 & 8 & 10 \ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 2 & 2 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} \underrightarrow{化简} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} =R $

矩阵的秩仍为\(r=2\),有\(2\)个主变量,\(1\)个自由变量。

同上一例,取自由变量为\(x_3=1\),求得特解 $ x=c \begin{bmatrix} -1 \ -1 \ 1 \ \end{bmatrix} $



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