第八讲：求解\(Ax=b\)：可解性和解的结构
举例，同上一讲：\(3 \times 4\)矩阵 $ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\ 2 & 4 & 6 & 8\ 3 & 6 & 8 & 10\ \end{bmatrix} \(，求\)Ax=b$的特解：
写出其增广矩阵（augmented matrix）\(\left[\begin{array}{c|c}A & b\end{array}\right]\)：
显然，有解的必要条件为\(b_3-b_2-b_1=0\)。
讨论\(b\)满足什么条件才能让方程\(Ax=b\)有解（solvability condition on b）：当且仅当\(b\)属于\(A\)的列空间时。另一种描述：如果\(A\)的各行线性组合得到\(0\)行，则\(b\)端分量做同样的线性组合，结果也为\(0\)时，方程才有解。
解法：令所有自由变量取\(0\)，则有$ \begin{cases} x_1 & + & 2x_3 & = & 1 \ & & 2x_3 & = & 3 \ \end{cases} $ ，解得$ \begin{cases} x_1 & = & -2 \ x_3 & = & \frac{3}{2} \ \end{cases} $ ，代入\(Ax=b\)求得特解 $ x_p= \begin{bmatrix} -2 \ 0 \ \frac{3}{2} \ 0 \end{bmatrix} $。
令\(Ax=b\)成立的所有解： $$ \begin{cases} A & x_p & = & b \ A & x_n & = & 0 \ \end{cases} \quad \underrightarrow{两式相加} \quad A(x_p+x_n)=b $$
即\(Ax=b\)的解集为其特解加上零空间，对本例有： $ x_{complete}= \begin{bmatrix} -2 \ 0 \ \frac{3}{2} \ 0 \end{bmatrix} + c_1\begin{bmatrix}-2\1\0\0\\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}2\0\-2\1\\end{bmatrix} $
对于\(m \times n\)矩阵\(A\)，有矩阵\(A\)的秩\(r \leq min(m, n)\)
列满秩\(r=n\)情况： $ A= \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 2 & 1 \ 6 & 1 \ 5 & 1 \ \end{bmatrix} $ ，\(rank(A)=2\)，要使\(Ax=b, b \neq 0\)有非零解，\(b\)必须取\(A\)中各列的线性组合，此时A的零空间中只有\(0\)向量。
行满秩\(r=m\)情况： $ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 5 \ 3 & 1 & 1 & 1 \ \end{bmatrix} $ ，\(rank(A)=2\)，\(\forall b \in R^m都有x \neq 0的解\)，因为此时\(A\)的列空间为\(R^m\)，\(b \in R^m\)恒成立，组成\(A\)的零空间的自由变量有n-r个。
行列满秩情况：\(r=m=n\)，如 $ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ \end{bmatrix} $ ，则\(A\)最终可以化简为\(R=I\)，其零空间只包含\(0\)向量。
总结：
