第十九讲：行列式公式和代数余子式
上一讲中，我们从三个简单的性质扩展出了一些很好的推论，本讲将继续使用这三条基本性质：
- \(\det I=1\)；
- 交换行行列式变号；
- 对行列式的每一行都可以单独使用线性运算，其值不变；
我们使用这三条性质推导二阶方阵行列式：
\[\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&0\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&0\\c&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&0\\0&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\c&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\0&d\end{vmatrix}=ad-bc\]
按照这个方法，我们继续计算三阶方阵的行列式，可以想到，我们保持第二、三行不变，将第一行拆分为个行列式之和，再将每一部分的第二行拆分为三部分，这样就得到九个行列式，再接着拆分这九个行列式的第三行，最终得到二十七个行列式。可以想象到，这些矩阵中有很多值为零的行列式，我们只需要找到不为零的行列式，求和即可。
\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&0&0\\0&0&a_{23}\\0&a_{32}&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&a_{12}&0\\a_{21}&0&0\\0&0&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&a_{12}&0\\0&0&a_{23}\\a_{31}&0&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&0&a_{13}\\a_{21}&0&0\\0&a_{32}&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&0&a_{13}\\0&a_{22}&0\\a_{31}&0&0\end{vmatrix}\]
\[原式=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\tag{1}\]
同理，我们想继续推导出阶数更高的式子，按照上面的式子可知\(n\)阶行列式应该可以分解成\(n!\)个非零行列式（占据第一行的元素有\(n\)种选择，占据第二行的元素有\(n-1\)种选择，以此类推得\(n!\)）：
\[\det A=\sum_{n!} \pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}\cdots a_{n\omega}, (\alpha, \beta, \gamma, \omega)=P_n^n\tag{2}\]
这个公式还不完全，接下来需要考虑如何确定符号：
\(\(\begin{vmatrix}0&0&\overline 1&\underline 1\\0&\overline 1&\underline 1&0\\\overline 1&\underline 1&0&0\\\underline 1&0&0&\overline 1\end{vmatrix}\)\)
* 观察带有下划线的元素，它们的排列是\((4,3,2,1)\)，变为\((1,2,3,4)\)需要两步操作，所以应取\(+\)；
* 观察带有上划线的元素，它们的排列是\((3,2,1,4)\)，变为\((1,2,3,4)\)需要一步操作，所以应取\(-\)。
* 观察其他元素，我们无法找出除了上面两种以外的排列方式，于是该行列式值为零，这是一个奇异矩阵。
此处引入代数余子式（cofactor）的概念，它的作用是把\(n\)阶行列式化简为\(n-1\)阶行列式。
于是我们把\((1)\)式改写为：
\[a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\]
\[\begin{vmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&a_{23}\\0&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&a_{12}&0\\a_{21}&0&a_{23}\\a_{31}&0&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&0&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&0\end{vmatrix}\]
于是，我们可以定义\(a_{ij}\)的代数余子式：将原行列式的第\(i\)行与第\(j\)列抹去后得到的\(n-1\)阶行列式记为\(C_{ij}\)，\(i+j\)为偶时时取\(+\)，\(i+j\)为奇时取\(-\)。
现在再来完善式子\((2)\)：将行列式\(A\)沿第一行展开：
\[\det A=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots+a_{1n}C_{1n}\]
到现在为止，我们了解了三种求行列式的方法：
- 消元，\(\det A\)就是主元的乘积；
- 使用\((2)\)式展开，求\(n!\)项之积；
- 使用代数余子式。
计算例题：
\(A_4=\begin{vmatrix}1&1&0&0\\1&1&1&0\\0&1&1&1\\0&0&1&1\end{vmatrix}\stackrel{沿第一行展开}{=}\begin{vmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&1\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&1&1\end{vmatrix}=-1-0=-1\)
