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第十九讲:行列式公式和代数余子式

上一讲中,我们从三个简单的性质扩展出了一些很好的推论,本讲将继续使用这三条基本性质:

  1. \(\det I=1\)
  2. 交换行行列式变号;
  3. 对行列式的每一行都可以单独使用线性运算,其值不变;

我们使用这三条性质推导二阶方阵行列式:

\[\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&0\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&0\\c&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&0\\0&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\c&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\0&d\end{vmatrix}=ad-bc\]

按照这个方法,我们继续计算三阶方阵的行列式,可以想到,我们保持第二、三行不变,将第一行拆分为个行列式之和,再将每一部分的第二行拆分为三部分,这样就得到九个行列式,再接着拆分这九个行列式的第三行,最终得到二十七个行列式。可以想象到,这些矩阵中有很多值为零的行列式,我们只需要找到不为零的行列式,求和即可。

\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&0&0\\0&0&a_{23}\\0&a_{32}&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&a_{12}&0\\a_{21}&0&0\\0&0&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&a_{12}&0\\0&0&a_{23}\\a_{31}&0&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&0&a_{13}\\a_{21}&0&0\\0&a_{32}&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&0&a_{13}\\0&a_{22}&0\\a_{31}&0&0\end{vmatrix}\]
\[原式=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\tag{1}\]

同理,我们想继续推导出阶数更高的式子,按照上面的式子可知\(n\)阶行列式应该可以分解成\(n!\)个非零行列式(占据第一行的元素有\(n\)种选择,占据第二行的元素有\(n-1\)种选择,以此类推得\(n!\)):

\[\det A=\sum_{n!} \pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}\cdots a_{n\omega}, (\alpha, \beta, \gamma, \omega)=P_n^n\tag{2}\]

这个公式还不完全,接下来需要考虑如何确定符号:

\(\(\begin{vmatrix}0&0&\overline 1&\underline 1\\0&\overline 1&\underline 1&0\\\overline 1&\underline 1&0&0\\\underline 1&0&0&\overline 1\end{vmatrix}\)\) * 观察带有下划线的元素,它们的排列是\((4,3,2,1)\),变为\((1,2,3,4)\)需要两步操作,所以应取\(+\); * 观察带有上划线的元素,它们的排列是\((3,2,1,4)\),变为\((1,2,3,4)\)需要一步操作,所以应取\(-\)。 * 观察其他元素,我们无法找出除了上面两种以外的排列方式,于是该行列式值为零,这是一个奇异矩阵。

此处引入代数余子式(cofactor)的概念,它的作用是把\(n\)阶行列式化简为\(n-1\)阶行列式。

于是我们把\((1)\)式改写为:

\[a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\]
\[\begin{vmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&a_{23}\\0&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&a_{12}&0\\a_{21}&0&a_{23}\\a_{31}&0&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&0&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&0\end{vmatrix}\]

于是,我们可以定义\(a_{ij}\)的代数余子式:将原行列式的第\(i\)行与第\(j\)列抹去后得到的\(n-1\)阶行列式记为\(C_{ij}\)\(i+j\)为偶时时取\(+\)\(i+j\)为奇时取\(-\)

现在再来完善式子\((2)\):将行列式\(A\)沿第一行展开:

\[\det A=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots+a_{1n}C_{1n}\]

到现在为止,我们了解了三种求行列式的方法:

  1. 消元,\(\det A\)就是主元的乘积;
  2. 使用\((2)\)式展开,求\(n!\)项之积;
  3. 使用代数余子式。

计算例题: \(A_4=\begin{vmatrix}1&1&0&0\\1&1&1&0\\0&1&1&1\\0&0&1&1\end{vmatrix}\stackrel{沿第一行展开}{=}\begin{vmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&1\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&1&1\end{vmatrix}=-1-0=-1\)



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