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第三十三讲:单元检测3复习

在上一次复习中,我们已经涉及了求特征值与特征向量(通过解方程\(\det(A-\lambda I)=0\)得出\(\lambda\),再将\(\lambda\)带入\(A-\lambda I\)求其零空间得到\(x\))。

接下的章节来我们学习了:

  • 解微分方程\(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au\),并介绍了指数矩阵\(e^{At}\)
  • 介绍了对称矩阵的性质\(A=A^T\),了解了其特征值均为实数且总是存在足量的特征向量(即使特征值重复特征向量也不会短缺,总是可以对角化);同时对称矩阵的特征向量正交,所以对称矩阵对角化的结果可以表示为\(A=Q\Lambda Q^T\)
  • 接着我们学习了正定矩阵;
  • 然后学习了相似矩阵,\(B=M^{-1}AM\),矩阵\(A,B\)特征值相同,其实相似矩阵是用不同的基表示相同的东西;
  • 最后我们学习了奇异值分解\(A=U\varSigma V^T\)

现在,我们继续通过例题复习这些知识点。

  1. 解方程\(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au=\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}u\)

    首先通过\(A\)的特征值/向量求通解\(u(t)=c_1e^{\lambda_1t}x_1+c_2e^{\lambda_2t}x_2+c_3e^{\lambda_3t}x_3\),很明显矩阵是奇异的,所以有\(\lambda_1=0\)

    继续观察矩阵会发现\(A^T=-A\),这是一个反对称矩阵(anti-symmetric)或斜对陈矩阵(skew-symmetric),这与我们在第二十一讲介绍过的旋转矩阵类似,它的特征值应该为纯虚数(特征值在虚轴上),所以我们猜测其特征值应为\(0\cdot i,\ b\cdot i,\ -b\cdot i\)。通过解\(\det(A-\lambda I)=0\)验证一下:\(\begin{bmatrix}-\lambda&-1&0\\1&-\lambda&-1\\0&1&\lambda\end{bmatrix}=\lambda^3+2\lambda=0, \lambda_2=\sqrt 2i, \lambda_3=-\sqrt 2i\)

    此时\(u(t)=c_1+c_2e^{\sqrt 2it}x_2+c_3e^{-\sqrt 2it}x_3\)\(e^{\sqrt 2it}\)始终在复平面单位圆上,所以\(u(t)\)及不发散也不收敛,它只是具有周期性。当\(t=0\)时有\(u(0)=c_1+c_2+c_3\),如果使\(e^{\sqrt 2iT}=1\)\(\sqrt 2iT=2\pi i\)则也能得到\(u(T)=c_1+c_2+c_3\),周期\(T=\pi\sqrt 2\)

    另外,反对称矩阵同对称矩阵一样,具有正交的特征向量。当矩阵满足什么条件时,其特征向量相互正交?答案是必须满足\(AA^T=A^TA\)。所以对称矩阵\(A=A^T\)满足此条件,同时反对称矩阵\(A=-A^T\)也满足此条件,而正交矩阵\(Q^{-1}=Q^T\)同样满足此条件,这三种矩阵的特征向量都是相互正交的。

    上面的解法并没有求特征向量,进而通过\(u(t)=e^{At}u(0)\)得到通解,现在我们就来使用指数矩阵来接方程。如果矩阵可以对角化(在本例中显然可以),则\(A=S\Lambda S^{-1}, e^{At}=Se^{\Lambda t}S^{-1}=S\begin{bmatrix}e^{\lambda_1t}&&&\\&e^{\lambda_1t}&&\\&&\ddots&\\&&&e^{\lambda_1t}\end{bmatrix}S^{-1}\),这个公式在能够快速计算\(S,\lambda\)时很方便求解。

  2. 已知矩阵的特征值\(\lambda_1=0,\lambda_2=c,\lambda_3=2\),特征向量\(x_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},x_2=\begin{bmatrix}1&-1&0\end{bmatrix},x_3=\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix}\)

    \(c\)如何取值才能保证矩阵可以对角化?其实可对角化只需要有足够的特征向量即可,而现在特征向量已经足够,所以\(c\)可以取任意值。

    \(c\)如何取值才能保证矩阵对称?我们知道,对称矩阵的特征值均为实数,且注意到给出的特征向量是正交的,有了实特征值及正交特征向量,我们就可以得到对称矩阵。

    \(c\)如何取值才能使得矩阵正定?已经有一个零特征值了,所以矩阵不可能是正定的,但可以是半正定的,如果\(c\)去非负实数。

    \(c\)如何取值才能使得矩阵是一个马尔科夫矩阵?在第二十四讲我们知道马尔科夫矩阵的性质:必有特征值等于\(1\),其余特征值均小于\(1\),所以\(A\)不可能是马尔科夫矩阵。

    \(c\)取何值才能使得\(P=\frac{A}{2}\)是一个投影矩阵?我们知道投影矩阵的一个重要性质是\(P^2=P\),所以有对其特征值有\(\lambda^2=\lambda\),则\(c=0,2\)

    题设中的正交特征向量意义重大,如果没有正交这个条件,则矩阵\(A\)不会是对称、正定、投影矩阵。因为特征向量的正交性我们才能直接去看特征值的性质。

  3. 复习奇异值分解,\(A=U\varSigma V^T\)

    先求正交矩阵\(V\)\(A^TA=V\varSigma^TU^TU\varSigma V^T=V\left(\varSigma^T\varSigma\right)V^T\),所以\(V\)是矩阵\(A^TA\)的特征向量矩阵,而矩阵\(\varSigma^T\varSigma\)是矩阵\(A^TA\)的特征值矩阵,即\(A^TA\)的特征值为\(\sigma^2\)

    接下来应该求正交矩阵\(U\)\(AA^T=U\varSigma^TV^TV\varSigma U^T=U\left(\varSigma^T\varSigma\right)U^T\),但是请注意,我们在这个式子中无法确定特征向量的符号,我们需要使用\(Av_i=\sigma_iu_i\),通过已经求出的\(v_i\)来确定\(u_i\)的符号(因为\(AV=U\varSigma\)),进而求出\(U\)

    已知\(A=\bigg[u_1\ u_2\bigg]\begin{bmatrix}3&0\\0&2\end{bmatrix}\bigg[v_1\ v_2\bigg]^T\)

    从已知的\(\varSigma\)矩阵可以看出,\(A\)矩阵是非奇异矩阵,因为它没有零奇异值。另外,如果把\(\varSigma\)矩阵中的\(2\)改成\(-5\),则题目就不再是奇异值分解了,因为奇异值不可能为负;如果将\(2\)变为\(0\),则\(A\)是奇异矩阵,它的秩为\(1\),零空间为\(1\)维,\(v_2\)在其零空间中。

  4. \(A\)是正交对称矩阵,那么它的特征值具有什么特点

    首先,对于对称矩阵,有特征值均为实数;然后是正交矩阵,直觉告诉我们\(|\lambda|=1\)。来证明一下,对于\(Qx=\lambda x\),我们两边同时取模有\(\|Qx\|=|\lambda|\|x\|\),而正交矩阵不会改变向量长度,所以有\(\|x\|=|\lambda|\|x\|\),因此\(\lambda=\pm1\)

    \(A\)是正定的吗?并不一定,因为特征向量可以取\(-1\)

    \(A\)的特征值没有重复吗?不是,如果矩阵大于\(2\)阶则必定有重复特征值,因为只能取\(\pm1\)

    \(A\)可以被对角化吗?是的,任何对称矩阵、任何正交矩阵都可以被对角化。

    \(A\)是非奇异矩阵吗?是的,正交矩阵都是非奇异矩阵。很明显它的特征值都不为零。

    证明\(P=\frac{1}{2}(A+I)\)是投影矩阵

    我们使用投影矩阵的性质验证,首先由于\(A\)是对称矩阵,则\(P\)一定是对称矩阵;接下来需要验证\(P^2=P\),也就是\(\frac{1}{4}\left(A^2+2A+I\right)=\frac{1}{2}(A+I)\)。来看看\(A^2\)是什么,\(A\)是正交矩阵则\(A^T=A^{-1}\),而\(A\)又是对称矩阵则\(A=A^T=A^{-1}\),所以\(A^2=I\)。带入原式有\(\frac{1}{4}(2A+2I)=\frac{1}{2}(A+I)\),得证。

    我们可以使用特征值验证,\(A\)的特征值可以取\(\pm1\),则\(A+I\)的特征值可以取\(0,2\)\(\frac{1}{2}(A+I)\)的特征值为\(0,1\),特征值满足投影矩阵且它又是对称矩阵,得证。



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