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第十讲 四个基本子空间

对于\(m \times n\)矩阵\(A\)\(rank(A)=r\)有:

  • 行空间\(C(A^T) \in \mathbb{R}^n, dim C(A^T)=r\),基见例1。

  • 零空间\(N(A) \in \mathbb{R}^n, dim N(A)=n-r\),自由元所在的列即可组成零空间的一组基。

  • 列空间\(C(A) \in \mathbb{R}^m, dim C(A)=r\),主元所在的列即可组成列空间的一组基。

  • 左零空间\(N(A^T) \in \mathbb{R}^m, dim N(A^T)=m-r\),基见例2。

例1,对于行空间 $ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \ 1 & 1 & 2 & 1 \ 1 & 2 & 3 & 1 \ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元、化简} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} =R $

由于我们做了行变换,所以A的列空间受到影响,\(C(R) \neq C(A)\),而行变换并不影响行空间,所以可以在\(R\)中看出前两行就是行空间的一组基。

所以,可以得出无论对于矩阵\(A\)还是\(R\),其行空间的一组基,可以由\(R\)矩阵的前\(r\)行向量组成(这里的\(R\)就是第七讲提到的简化行阶梯形式)。

例2,对于左零空间,有\(A^Ty=0 \rightarrow (A^Ty)^T=0^T\rightarrow y^TA=0^T\),因此得名。

采用Gauss-Jordan消元,将增广矩阵\(\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times m}\end{array}\right]\)\(A\)的部分划为简化行阶梯形式\(\left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right]\),此时矩阵\(E\)会将所有的行变换记录下来。

\(EA=R\),而在前几讲中,有当\(A'\)\(m\)阶可逆方阵时,\(R'\)即是\(I\),所以\(E\)就是\(A^{-1}\)

本例中

\[ \left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times m}\end{array}\right]= \left[ \begin{array} {c c c c|c c c} 1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \underrightarrow{消元、化简} \left[ \begin{array} {c c c c|c c c} 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] =\left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right] \]

\[ EA= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} =R \]

很明显,式中\(E\)的最后一行对\(A\)的行做线性组合后,得到\(R\)的最后一行,即\(0\)向量,也就是\(y^TA=0^T\)

最后,引入矩阵空间的概念,矩阵可以同向量一样,做求和、数乘。

举例,设所有\(3 \times 3\)矩阵组成的矩阵空间为\(M\)。则上三角矩阵、对称矩阵、对角矩阵(前两者的交集)。

观察一下对角矩阵,如果取 $ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 7 \ \end{bmatrix} $ ,可以发现,任何三阶对角矩阵均可用这三个矩阵的线性组合生成,因此,他们生成了三阶对角矩阵空间,即这三个矩阵是三阶对角矩阵空间的一组基。



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