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第三十讲：奇异值分解

本讲我们介绍将一个矩阵写为\(A=U\varSigma V^T\)，分解的因子分别为正交矩阵、对角矩阵、正交矩阵，与前面几讲的分解不同的是，这两个正交矩阵通常是不同的，而且这个式子可以对任意矩阵使用，不仅限于方阵、可对角化的方阵等。

  • 在正定一讲中（第二十八讲）我们知道一个正定矩阵可以分解为\(A=Q\Lambda Q^T\)的形式，由于\(A\)对称性其特征向量是正交的，且其\(\Lambda\)矩阵中的元素皆为正，这就是正定矩阵的奇异值分解。在这种特殊的分解中，我们只需要一个正交矩阵\(Q\)就可以使等式成立。

  • 在对角化一讲中（第二十二讲），我们知道可对角化的矩阵能够分解为\(A=S\Lambda S^T\)的形式，其中\(S\)的列向量由\(A\)的特征向量组成，但\(S\)并不是正交矩阵，所以这不是我们希望得到的奇异值分解。

我们现在要做的是，在\(A\)的列空间中找到一组特殊的正交基\(v_1,v_2,\cdots,v_r\)，这组基在\(A\)的作用下可以转换为\(A\)的行空间中的一组正交基\(u_1,u_2,\cdots,u_r\)。

用矩阵语言描述为\(A\Bigg[v_1\ v_2\ \cdots\ v_r\Bigg]=\Bigg[\sigma_1u_1\ \sigma_2u_2\ \cdots\ \sigma_ru_r\Bigg]=\Bigg[u_1\ u_2\ \cdots\ u_r\Bigg]\begin{bmatrix}\sigma_1&&&\\&\sigma_2&&\\&&\ddots&\\&&&\sigma_n\end{bmatrix}\)，即\(Av_1=\sigma_1u_1,\ Av_2=\sigma_2u_2,\cdots,Av_r=\sigma_ru_r\)，这些\(\sigma\)是缩放因子，表示在转换过程中有拉伸或压缩。而\(A\)的左零空间和零空间将体现在\(\sigma\)的零值中。

另外，如果算上左零、零空间，我们同样可以对左零、零空间取标准正交基，然后写为\(A\Bigg[v_1\ v_2\ \cdots\ v_r\ v_{r+1}\ \cdots\ v_m\Bigg]=\Bigg[u_1\ u_2\ \cdots\ u_r\ u_{r+1}\ \cdots \ u_n\Bigg]\left[\begin{array}{c c c|c}\sigma_1&&&\\&\ddots&&\\&&\sigma_r&\\\hline&&&\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}\end{array}\right]\)，此时\(U\)是\(m\times m\)正交矩阵，\(\varSigma\)是\(m\times n\)对角矩阵，\(V^T\)是\(n\times n\)正交矩阵。

最终可以写为\(AV=U\varSigma\)，可以看出这十分类似对角化的公式，矩阵\(A\)被转化为对角矩阵\(\varSigma\)，我们也注意到\(U,\ V\)是两组不同的正交基。（在正定的情况下，\(U,\ V\)都变成了\(Q\)。）。进一步可以写作\(A=U\varSigma V^{-1}\)，因为\(V\)是标准正交矩阵所以可以写为\(A=U\varSigma V^T\)

计算一个例子，\(A=\begin{bmatrix}4&4\\-3&3\end{bmatrix}\)，我们需要找到：

  • 行空间\(\mathbb{R}^2\)的标准正交基\(v_1,v_2\)；
  • 列空间\(\mathbb{R}^2\)的标准正交基\(u_1,u_2\)；
  • \(\sigma_1>0, \sigma_2>0\)。

在\(A=U\varSigma V^T\)中有两个标准正交矩阵需要求解，我们希望一次只解一个，如何先将\(U\)消去来求\(V\)？

这个技巧会经常出现在长方形矩阵中：求\(A^TA\)，这是一个对称正定矩阵（至少是半正定矩阵），于是有\(A^TA=V\varSigma^TU^TU\varSigma V^T\)，由于\(U\)是标准正交矩阵，所以\(U^TU=I\)，而\(\varSigma^T\varSigma\)是对角线元素为\(\sigma^2\)的对角矩阵。

现在有\(A^TA=V\begin{bmatrix}\sigma_1&&&\\&\sigma_2&&\\&&\ddots&\\&&&\sigma_n\end{bmatrix}V^T\)，这个式子中\(V\)即是\(A^TA\)的特征向量矩阵而\(\varSigma^2\)是其特征值矩阵。

同理，我们只想求\(U\)时，用\(AA^T\)消掉\(V\)即可。

我们来计算\(A^TA=\begin{bmatrix}4&-3\\4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&4\\-3&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}25&7\\7&25\end{bmatrix}\)，对于简单的矩阵可以直接观察得到特征向量\(A^TA\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=32\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\ A^TA\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=18\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\)，化为单位向量有\(\sigma_1=32,\ v_1=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix},\ \sigma_2=18,\ v_2=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\)。

到目前为止，我们得到\(\begin{bmatrix}4&4\\-3&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_?&u_?\\u_?&u_?\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sqrt{32}&0\\0&\sqrt{18}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\)，接下来继续求解\(U\)。

\(AA^T=U\varSigma V^TV\varSigma^TU^T=U\varSigma^2U^T\)，求出\(AA^T\)的特征向量即可得到\(U\)，\(\begin{bmatrix}4&4\\-3&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&-3\\4&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}32&0\\0&18\end{bmatrix}\)，观察得\(AA^T\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=32\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\ AA^T\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=18\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\)。但是我们不能直接使用这一组特征向量，因为式子\(AV=U\varSigma\)明确告诉我们，一旦\(V\)确定下来，\(U\)也必须取能够满足该式的向量，所以此处\(Av_2=\begin{bmatrix}0\\-\sqrt{18}\end{bmatrix}=u_2\sigma_2=\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}\sqrt{18}\)，则\(u_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\ u_2=\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}\)。（这个问题在本讲的官方笔记中有详细说明。）

  • 补充：\(AB\)的特征值与\(BA\)的特征值相同，证明来自Are the eigenvalues of AB equal to the eigenvalues of BA? (Citation needed!)：

    取\(\lambda\neq 0\)，\(v\)是\(AB\)在特征值取\(\lambda\)时的的特征向量，则有\(Bv\neq 0\)，并有\(\lambda Bv=B(\lambda v)=B(ABv)=(BA)Bv\)，所以\(Bv\)是\(BA\)在特征值取同一个\(\lambda\)时的特征向量。

    再取\(AB\)的特征值\(\lambda=0\)，则\(0=\det{AB}=\det{A}\det{B}=\det{BA}\)，所以\(\lambda=0\)也是\(BA\)的特征值，得证。

最终，我们得到\(\begin{bmatrix}4&4\\-3&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sqrt{32}&0\\0&\sqrt{18}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\)。

再做一个例子，\(A=\begin{bmatrix}4&3\\8&6\end{bmatrix}\)，这是个秩一矩阵，有零空间。\(A\)的行空间为\(\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}\)的倍数，\(A\)的列空间为\(\begin{bmatrix}4\\8\end{bmatrix}\)的倍数。

  • 标准化向量得\(v_1=\begin{bmatrix}0.8\\0.6\end{bmatrix},\ u_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\)。
  • \(A^TA=\begin{bmatrix}4&8\\3&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&3\\8&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}80&60\\60&45\end{bmatrix}\)，由于\(A\)是秩一矩阵，则\(A^TA\)也不满秩，所以必有特征值\(0\)，则另特征值一个由迹可知为\(125\)。
  • 继续求零空间的特征向量，有\(v_2=\begin{bmatrix}0.6\\-0,8\end{bmatrix},\ u_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\)

最终得到\(\begin{bmatrix}4&3\\8&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&\underline {2}\\2&\underline{-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sqrt{125}&0\\0&\underline{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.8&0.6\\\underline{0.6}&\underline{-0.8}\end{bmatrix}\)，其中下划线部分都是与零空间相关的部分。

  • \(v_1,\ \cdots,\ v_r\)是行空间的标准正交基；
  • \(u_1,\ \cdots,\ u_r\)是列空间的标准正交基；
  • \(v_{r+1},\ \cdots,\ v_n\)是零空间的标准正交基；
  • \(u_{r+1},\ \cdots,\ u_m\)是左零空间的标准正交基。

通过将矩阵写为\(Av_i=\sigma_iu_i\)形式，将矩阵对角化，向量\(u,\ v\)之间没有耦合，\(A\)乘以每个\(v\)都能得到一个相应的\(u\)。

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